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电磁场的守恒定律：动量、能量与角动量

by wittx 2022-03-19

能量守恒：坡印廷定理

假设区域 $\mathcal{V}$ 中有电荷分布 $\rho$ ，则单位体积上受到的电磁力为：

$\\\boldsymbol{f}=\rho\boldsymbol{E}+\rho\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}=\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B}$

电磁场做功为：

$\\\mathrm{d}W=\boldsymbol{f}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{v}\mathrm{d}t$

注意到 $\boldsymbol{v}\kern .4em /\kern -0.8em / \kern .4em \boldsymbol{J}$ ，故 $\boldsymbol{f}$ 中第二项（也就是洛伦兹力项）不做功。所以全区域 $\mathcal{V}$ 上电磁力总功率为：

$\\ \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\int_\mathcal{V}\rho\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{v}\mathrm{d}\tau =\int_\mathcal{V}\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{J}\mathrm{d}\tau$

利用麦克斯韦方程组，把 $\boldsymbol{J}$ 用场量表示： $\boldsymbol{J}=\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t})$

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{J} \mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\cdot (\nabla\times\boldsymbol{B})-\varepsilon_0\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\cdot (\nabla\times\boldsymbol{B})-\frac {\varepsilon_0}{2}\frac{\partial \boldsymbol{E^2}}{\partial t}\mathrm{d}\tau \end{aligned}$

利用矢量微分法则： $\boldsymbol{E}\cdot (\nabla\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E})-\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})$ 以及麦克斯韦方程组 $\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$ 进一步化简：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\cdot (\nabla\times\boldsymbol{B})-\frac {\varepsilon_0}{2}\frac{\partial \boldsymbol{E^2}}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\frac{1}{\mu_0}[\boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E})-\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})]-\frac {\varepsilon_0}{2}\frac{\partial \boldsymbol{E^2}}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})-\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}-\frac{\varepsilon_0}{2}\frac{\partial \boldsymbol{E^2}}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=-\int_\mathcal{V}\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau-\int_\mathcal{V}\frac{1}{2\mu_0}\frac{\partial \boldsymbol{B}^2}{\partial t}+\frac{\varepsilon_0}{2}\frac{\partial \boldsymbol{E}^2}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=-\oint_\mathcal{S}(\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathcal{V}(\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2+\frac{\varepsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2)\mathrm{d}\tau\\ &=-\oint_\mathcal{S}\boldsymbol{S}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathcal{V}(\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2+\frac{\varepsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2)\mathrm{d}\tau\\ \end{aligned}$

上式中， $\boldsymbol{S}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}$ 为坡印廷矢量，是电磁场单位时间内通过单位表面积向外部传递的能量。上式即为坡印廷定理。

上面定理等号左边为电磁场做功，它实际转化为了区域中粒子的机械能或其他形式能。右边第一项曲面积分即为此区域向外传递的能量，第二项即为区域中场能的变化。

若记区域中机械能的能量密度为 $u_{mech}$ ，同时记 $u_{em}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\frac{1}{2\mu_0}\boldsymbol{B}^2+\frac{\varepsilon_0}{2}\boldsymbol{E}^2$ 为电磁场的能量密度，那么上式也可以写成微分形式：

$\\\frac{\partial}{\partial t}(u_{mech}+u_{eq})=-\nabla\cdot\boldsymbol{S}$

以上是针对真空中的电磁场的讨论（或者说，我们不区分电荷/电流到底是自由电荷/电流还是束缚电荷/电流）。在介质中，我们更关心构建系统中自由电荷所需要的能量。这时需要把以上讨论中的电荷分布 $\rho$ 与电流分布 $\boldsymbol{J}$ 改为自由电荷分布 $\rho_r$ 与自由电流分布 $\boldsymbol{J}_r$ ，推导中用到的麦克斯韦方程组改为介质中的。

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} &= \int_\mathcal{V}\boldsymbol{f}_r\cdot\boldsymbol{v}\mathrm{d}\tau=\int_\mathcal{V}(\rho_r\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}_r\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{v}\mathrm{d}\tau \\ &=\int_\mathcal{V}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}_r\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{H}-\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t})\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\boldsymbol{H}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E})-\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})-\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\mathrm{d}\tau\\ &=-\int_\mathcal{V}(\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t})\mathrm{d}\tau-\oint_\mathcal{S}(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{aligned}$

可见，此时电磁场能量密度的时间变化率为 $\frac{\partial u_{em}}{\partial t}=\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}$ （这里没有利用本构关系，请与线性介质下的公式相区分！）。坡印廷矢量变为 $\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$ （同样地，这里也不需要知道本构关系）。

动量守恒

现在考虑电磁场中粒子的动量。单位体积单位时间内粒子动量的变化即为单位体积上的电磁力 $\boldsymbol{f}$ 。故对全空间：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}&=\int_\mathcal{V}\boldsymbol{f}\mathrm{d}\tau=\int_\mathcal{V}(\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau \end{aligned}$

利用麦克斯韦方程组，全部换成用场量表示：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}(\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}(\varepsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t})\times\boldsymbol{B}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}(\varepsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})-\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \times\boldsymbol{E}\mathrm{d}\tau\\ \end{aligned}$

最后一步用到了分部积分，把对电场的时间偏导转成了对磁场的。利用麦克斯韦方程组进一步化简：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}(\varepsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})-\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \times\boldsymbol{E}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\varepsilon_0(\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{S}}{\partial t} +\varepsilon_0(\nabla\times\boldsymbol{E}) \times\boldsymbol{E}\mathrm{d}\tau\\ \end{aligned}$

在右式上再加一个恒为0的项 $(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{B}$ ，不会影响结果。利用矢量微分规则，继续化简：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}\varepsilon_0(\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{S}}{\partial t} +\varepsilon_0(\nabla\times\boldsymbol{E}) \times\boldsymbol{E}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\varepsilon_0[(\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{E}) \times\boldsymbol{E}]+\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{B}]-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{S}}{\partial t} \mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}\varepsilon_0[(\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}\nabla(\boldsymbol{E}^2)+(\boldsymbol{E}\cdot\nabla)\boldsymbol{E} ]+\frac{1}{\mu_0}[-\frac{1}{2}\nabla(\boldsymbol{B}^2)+(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}+(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{B}]-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{S}}{\partial t} \mathrm{d}\tau\\ \end{aligned}$

我们定义麦克斯韦应力张量 $\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}$ : $T_{ij}=\varepsilon_0(E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}\boldsymbol{E}^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}\boldsymbol{B}^2)$ ，其中 $\delta_{ij}$ 是Kronecker $\delta$ 符号。它的物理意义就是电磁场作用在单位表面积上的应力（压力/剪切应力）。然后就可以注意到

$\\\nabla\cdot\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}=\varepsilon_0[(\nabla\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}\nabla(\boldsymbol{E}^2)+(\boldsymbol{E}\cdot\nabla)\boldsymbol{E} ]+\frac{1}{\mu_0}[-\frac{1}{2}\nabla(\boldsymbol{B}^2)+(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}+(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{B}]$

（如果想要验证上式，只需把 $\nabla$ 算符视为一个普通的向量，验证左右两边的各分量对应相等即可。）

这样，将动量式化简为

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} &=\ ...\\ &=\int_\mathcal{V}\nabla\cdot\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{S}}{\partial t} \mathrm{d}\tau\\ &=\oint_\mathcal{S}\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathcal{V}\boldsymbol{S}\mathrm{d}\tau \end{aligned}$

这个式子结构上和坡印廷定理非常相似。等号左边是区域中粒子所受电磁力合力，也是（机械）动量变化率。等号右边第二项表示的是电磁场本身动量 $\varepsilon_0\mu_0\int_\mathcal{V}\boldsymbol{S}\mathrm{d}\tau$ 的时间变化率，第一项表示的是穿过区域边界流入的动量。

若记区域中机械动量密度为 $\boldsymbol{\mathcal{P}}_{mech}$ ，电磁场动量密度为 $\boldsymbol{\mathcal{P}}_{em}=\varepsilon_0\mu_0\boldsymbol{S}$ ，那么上式也可以写成微分形式：

$\\\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\mathcal{P}}_{em}+\boldsymbol{\mathcal{P}}_{mech})=\nabla\cdot\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}$

这样，可以看出， $-\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}$ 表示动量流密度， $-T_{ij}$ 表示单位时间内通过 $j$ 方向的单位面元沿 $i$ 方向的动量。这是 $\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}$ 的另一个物理含义。

以上是对真空中的电磁场的讨论。对于介质中的情况则非常复杂。事实上，除了在线性介质中，我们很难明确区分动量的来源从而给出场的动量的明确定义。在一般情况下，出于对这一问题的不同认识，可以得到不同形式的动量密度与麦克斯韦应力张量。因此，我就简单地类比之前的操作，用自由电荷分布 $\rho_r$ 与自由电流分布 $\boldsymbol{J}_r$ 来代替 $\rho$ 和 $\boldsymbol{J}$ ，得到动量密度的一种形式：

$\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} &=\int_\mathcal{V}(\rho_r\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J}_r\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{H}-\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t})\times\boldsymbol{B}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{H})\times\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \times\boldsymbol{D}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{H})\times\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})+(\nabla\times\boldsymbol{E})\times\boldsymbol{D}\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}[(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{E})\times\boldsymbol{D}]+[(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H}+(\nabla\times\boldsymbol{H})\times\boldsymbol{B}]-\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau\\ &=\int_\mathcal{V}[(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}+(\nabla\times\boldsymbol{E})\times\boldsymbol{D}]+[(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H}+(\nabla\times\boldsymbol{H})\times\boldsymbol{B}]\mathrm{d}\tau\\ &\ \ \ \ \ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_\mathcal{V} (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})\mathrm{d}\tau\\ \end{aligned}$

我就暂时把最后一个式子的第一项写成张量的散度的形式了，只是定性地认为这一项表示了区域表面的动量流。而第二项则给出了介质中电磁场动量密度的闵可夫斯基形式：

$\\\boldsymbol{\mathcal{P}_{Min}}=\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B}$

角动量守恒

由上面的推导知道，真空中电磁场的动量密度为 $\boldsymbol{\mathcal{P}}_{em}=\varepsilon_0\mu_0\boldsymbol{S}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}$ 。那么立刻可以知道真空中角动量密度为 $\mathcal{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\mathcal{P}}_{em}=\varepsilon_0\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})$ 。

可见，只要 $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{0}$ ，静场也会有动量和角动量。考虑经典的动量或角动量守恒时，必须要将电磁场的那一部分也包含在内，才能得到正确的结果。例如Feynman盘佯谬，在计算了电磁场的角动量以后仍然是守恒的。