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loss function（损失函数）及regulation（正则化）

by wittx 2020-09-28

常用几种loss function总结
常见几种regulation总结
PS:这里注意下regulation和regularization term为两种不一样的范畴，具体来说regulation包含增加regularization term这种方法

1.loss function:

Loss function一般分为两个部分：误差部分(loss term) + 正则化部分(regularization term）

$J(w) = \sum_{i}{L(m_i(w))}+\lambda R(w)$

loss term有以下常见几个类别：

Gold Standard (ideal case)-又称0-1损失函数
Hinge (SVM, soft margin)
Log (logistic regression, cross entropy loss error)
Squared loss (linear regression)
Exponential loss (Boosting)

1.1 Gold Standard Loss:

用来记录分类错误的次数：m为predition，若m<0，则分类错误，反之，分类正确

$L_{0,1}(m)=\left\{ \begin{aligned} 0&& m\geq0 \\ 1 & & m<0 \end{aligned} \right.$

1.2 Hinge Loss：

Hinge Loss常作为分类器训练时的损失函数。Hinge loss用于“最大间隔”分类，特别是针对于支持向量机（SVM）。For an intended output t = ±1 and a classifier score y, the hinge loss of the prediction y is defined as：（对于预期输出t =±1以及分类器y(二分类)，预测y的Hinge Loss定义为：）

$l(y)=max(0,1-t\cdot y)$

注意：这里的y分类器决策函数的“原始”输出，而不是预测的类别标签。例如，在线性SVM中，y=wx+b，(w,b)是分类超平面的参数，x是要分类的点。可以看到，当t和y有相同的符号的时候（这意味着y的预测是正确的）并且 $\left| y \right|\geq1$ ,hinge loss的结果为L(y)=0，但是当出现错误的分类是，hinge loss的L(y)与y呈线性关系（一个线性误差）。

带有regulation term的Hinge Loss(偷个懒不打公式了，所有J,w,y,x,m 标记全文一致):

1.3 Log Loss:

在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布(0-1分布)然，后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数 $max \ F(y,f(x))\rightarrow min \ -F(y,f(x))$ 。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数。

其定义式：

$\begin{align} & P(y=1|x,\theta)=h_{\theta}(x) \\ & P(y=0|x,\theta)=1-h_{\theta}(x) \\ & P(y|x,\theta) = (h_{\theta}(x)^{y}(1-h_{\theta}(x))^{1-y} \\ \end{align}$

然后我们可以得出其loss function：

$\begin{align} L(\theta) &= P(\vec y| X,\theta) \\ & =\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)},\theta)\\ & =\prod_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \end{align}$

然后我们自然最大化其最大似然函数（log likelihood function）:

$\begin{align} l(\theta) &= max \ log(L(\theta)) \\ &= max \ \sum_{i=1}^{m}{{y^{(i)}}log(h_{\theta}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))} \\ &=min \ - \sum_{i=1}^{m}{{y^{(i)}}log(h_{\theta}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))} \end{align}$

而这个恰恰就是最小化cross entropy。

至此我们顺便介绍下cross entropy:

熵（entropy）的概念来自物理中的热力学，表示热力学系统中的无序程度，我们说的熵是信息论中的熵，表示对不确定性的测量，熵越高，能传输的信息越多，熵越少，传输的信息越少。举个例子说，当你站在一条公路旁边，看着车流来来往往，然后，你想告诉你的朋友每个车型号，但是只有一个二进制的信道，仅仅可以传输0，1序列，然后这个通讯相当的昂贵，十元1bit。你需要很多个二进制序列来表示每一个车型号。那么你该怎么来编码这些车的型号呢？会使用相同长度的bit来表示丰田Camry和奥迪Q7么? 当然不会了，因为你知道丰田Camry比奥迪Q7普遍多了，所以你会用更少的bit来编码丰田。换成数学的角度来看，把随机过的一辆车辆品牌是丰田Camry还是奥迪Q7看成随机事件，用随机变量X表示，所以我们在做的就是用X的分布来减少我们发送的bit的平均长度。也就是我们现在有了观测到的概率分布y,y_i = P(X=x_i)。我们要使用平均最小的bit，所以我们应该为x_i 分配log(1/y_i) 个比特。对所有的x_i 我们都有一个对应的最小需要分配的bit长度，那么我们对这个log(1/y_i)求期望也就得到了X的熵的定义了：

Cross entropy:

假如说我们用这个分布来作为我们来对事件编码的一个工具，熵就衡量了我们用这个正确的分布y来对事件编码所能用的最小的bit 长度，我们不能用更短的bit来编码这些事件或者符号了。相对的，交叉熵是我们要对y这个分布去编码，但是我们用了一些模型估计分布y`。这里的话通过y`这个分布我们得到的关于x_i的最小编码长度就变成了log(1/y`_i)，但是呢，我们的期望仍是关于真是分布y的。所以交叉熵的定义就变成了：

交叉熵是大于等于熵的，因为我们使用了错误的分布y`会带来更多的bit使用。当y和y`相等的时候，交叉熵就等于熵了。

KL 松散度（KL Divergence）：

KL松散度和交叉熵的区别比较小，KL松散度又叫做相对熵，从定义很好看出区别：

这个意思就是说我们要编码一个服从y分布的随机变量，假设我们使用了一些数据估计出来这个随机变量的分布是y`，那么我们需要用比真实的最小bit多多少来编码这个随机变量。这个值是大于等于0的，并且当y和y`相等的时候才为0。注意这里对交叉熵求最小和对KL松散度求最小是一样的。也就是我们要调整参数使得交叉熵和熵更接近，KL松散度越接近0，也就是y`越接近y。

1.4 squared loss:

很简单了，就是prediction与label差值的平方求和：

1.5 exponential loss：

指数误差通常用在boosting中，指数误差始终> 0，但是确保越接近正确的结果误差越小，反之越大。

1.6 regulation term：

简单区分L1,L2 regulation term:

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_1$
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_2$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。

L1正则化和L2正则化的作用:

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

PS:稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合?

L1正则化和特征选择:

假设有如下带L1正则化的损失函数：

$J=J_0+\alpha\sum_{w}{\left| w \right|}$
其中 $J_0$ 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， $J$ 是带有绝对值符号的函数，因此 $J$ 是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 $J_0$ 后添加L1正则化项时，相当于对 $J_0$ 做了一个约束。令 $L=\alpha\sum_{w}{\left| w \right|}$ ，则 $J=J_0+L$ ，此时我们的任务变成在L约束下求出 $J_0$ 取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解 $J_0$ 的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1,w2的二维平面上画出来。如下图：

图中等值线是 $J_0$ 的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当 $J_0$ 等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中 $J_0$ 与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多）， $J_0$ 与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

假设有如下带L2正则化的损失函数,同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下:

$J=J_0+\alpha\sum_{w}{w^2}$

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此 $J_0$ 与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合:

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下:

$J(\theta)= \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})^2}$

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：

${\theta}_j = {\theta}_j - \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})}x_{j}^{(i)}$

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

${\theta}_j = {\theta}_j (1-\alpha\frac{\lambda}{m})- \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})}x_{j}^{(i)}$

其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， $\theta_j$ 都要先乘以一个小于1的因子，从而使得 $\theta_j$ 不断减小，因此总得来看， $\theta$ 是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

2. Regulation的常用方法：

Dropout
Batch Normalization
Data Augmentation
DropConnect
Fractional Max Pooling
Stochastic Depth(Resnet- shortcut)

--详细内容请传送至：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40394834

-ref:

1.Loss function:损失函数(Loss Function)

2. Cross entropy 介绍

3.regulation term: 机器学习中正则化项L1和L2的直观理解 - CSDN

4. Regulation 常用方法：CS231n_lecture7_slides

常用几种loss function总结
常见几种regulation总结

PS:这里注意下regulation和regularization term为两种不一样的范畴，具体来说regulation包含增加regularization term这种方法

1.loss function:

Loss function一般分为两个部分：误差部分(loss term) + 正则化部分(regularization term）

$J(w) = \sum_{i}{L(m_i(w))}+\lambda R(w)$

loss term有以下常见几个类别：

Gold Standard (ideal case)-又称0-1损失函数
Hinge (SVM, soft margin)
Log (logistic regression, cross entropy loss error)
Squared loss (linear regression)
Exponential loss (Boosting)

1.1 Gold Standard Loss:

用来记录分类错误的次数：m为predition，若m<0，则分类错误，反之，分类正确

$L_{0,1}(m)=\left\{ \begin{aligned} 0&& m\geq0 \\ 1 & & m<0 \end{aligned} \right.$

1.2 Hinge Loss：

Hinge Loss常作为分类器训练时的损失函数。Hinge loss用于“最大间隔”分类，特别是针对于支持向量机（SVM）。For an intended output t = ±1 and a classifier score y, the hinge loss of the prediction y is defined as：（对于预期输出t =±1以及分类器y(二分类)，预测y的Hinge Loss定义为：）

$l(y)=max(0,1-t\cdot y)$

带有regulation term的Hinge Loss(偷个懒不打公式了，所有J,w,y,x,m 标记全文一致):

1.3 Log Loss:

其定义式：

$\begin{align} & P(y=1|x,\theta)=h_{\theta}(x) \\ & P(y=0|x,\theta)=1-h_{\theta}(x) \\ & P(y|x,\theta) = (h_{\theta}(x)^{y}(1-h_{\theta}(x))^{1-y} \\ \end{align}$

然后我们可以得出其loss function：

$\begin{align} L(\theta) &= P(\vec y| X,\theta) \\ & =\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)},\theta)\\ & =\prod_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \end{align}$

然后我们自然最大化其最大似然函数（log likelihood function）:

而这个恰恰就是最小化cross entropy。

至此我们顺便介绍下cross entropy:

Cross entropy:

交叉熵是大于等于熵的，因为我们使用了错误的分布y`会带来更多的bit使用。当y和y`相等的时候，交叉熵就等于熵了。

KL 松散度（KL Divergence）：

KL松散度和交叉熵的区别比较小，KL松散度又叫做相对熵，从定义很好看出区别：

1.4 squared loss:

很简单了，就是prediction与label差值的平方求和：

1.5 exponential loss：

指数误差通常用在boosting中，指数误差始终> 0，但是确保越接近正确的结果误差越小，反之越大。

1.6 regulation term：

简单区分L1,L2 regulation term:

L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_1$
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_2$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。

L1正则化和L2正则化的作用:

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

PS:稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合?

L1正则化和特征选择:

假设有如下带L1正则化的损失函数：

假设有如下带L2正则化的损失函数,同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下:

$J=J_0+\alpha\sum_{w}{w^2}$

L2正则化和过拟合:

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下:

$J(\theta)= \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})^2}$

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：

${\theta}_j = {\theta}_j - \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})}x_{j}^{(i)}$

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

${\theta}_j = {\theta}_j (1-\alpha\frac{\lambda}{m})- \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x)^{(i)}-y^{(i)})}x_{j}^{(i)}$

2. Regulation的常用方法：

Dropout
Batch Normalization
Data Augmentation
DropConnect
Fractional Max Pooling
Stochastic Depth(Resnet- shortcut)

--详细内容请传送至：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40394834

-ref:

1.Loss function:损失函数(Loss Function)

2. Cross entropy 介绍

3.regulation term: 机器学习中正则化项L1和L2的直观理解 - CSDN

4. Regulation 常用方法：CS231n_lecture7_slides

https://zhuanlan.zhihu.com/p/40284001

常用几种loss function总结
常见几种regulation总结

PS:这里注意下regulation和regularization term为两种不一样的范畴，具体来说regulation包含增加regularization term这种方法

1.loss function:

Loss function一般分为两个部分：误差部分(loss term) + 正则化部分(regularization term）

$J(w) = \sum_{i}{L(m_i(w))}+\lambda R(w)$

loss term有以下常见几个类别：

Gold Standard (ideal case)-又称0-1损失函数
Hinge (SVM, soft margin)
Log (logistic regression, cross entropy loss error)
Squared loss (linear regression)
Exponential loss (Boosting)

1.1 Gold Standard Loss:

用来记录分类错误的次数：m为predition，若m<0，则分类错误，反之，分类正确

$L_{0,1}(m)=\left\{ \begin{aligned} 0&& m\geq0 \\ 1 & & m<0 \end{aligned} \right.$

1.2 Hinge Loss：

Hinge Loss常作为分类器训练时的损失函数。Hinge loss用于“最大间隔”分类，特别是针对于支持向量机（SVM）。For an intended output t = ±1 and a classifier score y, the hinge loss of the prediction y is defined as：（对于预期输出t =±1以及分类器y(二分类)，预测y的Hinge Loss定义为：）

$l(y)=max(0,1-t\cdot y)$

带有regulation term的Hinge Loss(偷个懒不打公式了，所有J,w,y,x,m 标记全文一致):

1.3 Log Loss:

其定义式：

$\begin{align} & P(y=1|x,\theta)=h_{\theta}(x) \\ & P(y=0|x,\theta)=1-h_{\theta}(x) \\ & P(y|x,\theta) = (h_{\theta}(x)^{y}(1-h_{\theta}(x))^{1-y} \\ \end{align}$

然后我们可以得出其loss function：

$\begin{align} L(\theta) &= P(\vec y| X,\theta) \\ & =\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)},\theta)\\ & =\prod_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \end{align}$

然后我们自然最大化其最大似然函数（log likelihood function）:

而这个恰恰就是最小化cross entropy。

至此我们顺便介绍下cross entropy:

Cross entropy:

交叉熵是大于等于熵的，因为我们使用了错误的分布y`会带来更多的bit使用。当y和y`相等的时候，交叉熵就等于熵了。

KL 松散度（KL Divergence）：

KL松散度和交叉熵的区别比较小，KL松散度又叫做相对熵，从定义很好看出区别：

1.4 squared loss:

很简单了，就是prediction与label差值的平方求和：

1.5 exponential loss：

指数误差通常用在boosting中，指数误差始终> 0，但是确保越接近正确的结果误差越小，反之越大。

1.6 regulation term：

简单区分L1,L2 regulation term:

L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_1$
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 $\left| \left| w\right|\right|_2$