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自动驾驶运动规划算法

by wittx 2020-06-07

Hybird A*算法保证生成的路径是车辆可实际行驶的，但它仍然包含很多不必要的车辆转向操作，我们可以对其进行进一步的平滑和优化。

Objective Function

对于Hybird A*生成的车辆轨迹序列： ${(x_1, y_1),(x_2, y_2),...,(x_N, y_N)}$ ,论文【1】中提出如下的目标优化函数(Objective Function)：

$\begin{array}{l} w_{\rho} \sum_{i=1}^{N} \rho_{V}\left(x_{i}, y_{i}\right)+ \\ w_{o} \sum_{i=1}^{N} \sigma_{o}\left(\left|\mathbf{x}_{i}-\mathbf{o}_{i}\right|-d_{\max }\right)+ \\ w_{\kappa} \sum_{i=1}^{N-1} \sigma_{\kappa}\left(\frac{\Delta \phi_{i}}{\left|\Delta \mathbf{x}_{i}\right|}-\kappa_{\max }\right)+ \\ w_{s} \sum_{i=1}^{N-1}\left(\Delta \mathbf{x}_{i+1}-\Delta \mathbf{x}_{i}\right)^{2} \end{array} \\$

该优化函数是Voronoi Term、Obstacle Term、Curvature Term和Smoothness Term四个部分的加权平均：第一个部分引导车辆尽可能的避开障碍物区域；第二个部分惩罚车辆与障碍物的碰撞行为；第三部分约束规划的每个点的最大曲率，并提供车辆非完整约束的保证；第四个部分是轨迹的平滑性约束。 $w_{\rho}$ 、 $w_{o}$ 、 $w_{\kappa}$ 、 $w_{s}$ 分别是这四个部分的权重因子。

1、Voronoi Term

Voronoi Term中引入了Voronoi Field的概念，Voronoi Field是机器人Motion Planning领域两种经典算法Voronoi Diagram和Potential Field的结合。

半杯茶的小酒杯：自动驾驶路径规划-Voronoi Plannerzhuanlan.zhihu.com

半杯茶的小酒杯：路径规划-人工势场法(Artificial Potential Field)zhuanlan.zhihu.com

此处采用Voronoi Field的定义如下：

$\begin{aligned} \rho_{V}(x, y)=&\left(\frac{\alpha}{\alpha+d_{\mathcal{O}}(x, y)}\right)\left(\frac{d_{\mathcal{V}}(x, y)}{d_{\mathcal{O}}(x, y)+d_{\mathcal{V}}(x, y)}\right) \\ & \frac{\left(d_{\mathcal{O}}-d_{\mathcal{O}}^{\max }\right)^{2}}{\left(d_{\mathcal{O}}^{\max }\right)^{2}} \end{aligned} \\$

其中 $d_{\mathcal{O}}$ 和 $d_{\mathcal{V}}$ 分别是路径点(x,y)到最近障碍物的距离和到最近Voronoi Diagram的边的距离。越靠近障碍物， $\rho_{V}(x, y)$ 的值越大，越接近1；越靠近Voronoi Edge， $\rho_{V}(x, y)$ 的值越接近0。

上图图左一为Voronoi Field的实际效果，上图右一是标准Potential Field的实际效果。可以看到，Voronoi Field对狭窄通道的效果要明显优于Potential Field。

2、Obstacle Term

Obstacle Term中 $x_i$ 是路径点坐标位置， $o_i$ 是附近障碍物的位置， $d_{max}$ 是决定Obstacle Term是否影响路径Cost的阈值。当路径点距离障碍物的距离小于 $d_{max}$ 时，Obstacle Term才会对轨迹的Cost进行惩罚。距离障碍物越近， $|x_i - o_i|$ 的值越小，Obstacle Term的值就越大，整个轨迹的Cost也就越大。这样就达到了使得平滑后的路径远离障碍物的效果。

这里 $\sigma_{o}$ 一般使用二次函数。即:

$\sigma_{o} \left(\left| {\mathbf{x}}_{i}-{\mathbf{o}}_{i}\right|-d_{\max }\right) = \left(\left| {\mathbf{x}}_{i}-{\mathbf{o}}_{i}\right|-d_{\max }\right)^2 \\$

3、Curvature Term

对于一系列的点 $X_i=\{x_i, y_i\}, i \in [1,N]$ ， $\Delta X_i = X_i - X_{i-1}$ ，即为规划路径的方向向量； $\Delta \phi_i$ 为路径点的方向角变化。

$\kappa = \Delta \phi / |\Delta X_i|$ 为 $X_i$ 处的曲率。与Obstacle Term类似，Curvature Term也设置了一个最大允许的路径曲率 $\kappa_{max}$ ，当曲率大于 $\kappa_{max}$ 时，Curvature Term才会对路径的Cost施加惩罚。

4、Smoothness Term

平滑项利用当前点前后两个方向向量的差值来衡量，方向向量既可以衡量方向的改变，也可以体现轨迹点的分布变换。

5、梯度下降

确定Objective Function函数之后，就可以利用Conjugate Gradient(CG，共轭梯度法)或者Gradient Descent求解最优路径。

代码参见:

https://github.com/teddyluo/hybrid-a-star-annotation/blob/master/src/smoother.cpp

平滑后的路径如下：

Non-Parametric Interpolation

对路径进行非线性优化后，我们得到一条比Hybird A*算法路线更加平滑的路径，但是这条路径仍然由一段段的折线组成。在论文【1】中提到在它们的实现中组成路径的折线大约在0.5m-1m，这些折线仍然会导致车辆会出现非常生硬的转向，所以需要使用插值算法进一步平滑路径。

参数化的插值算法对噪声非常敏感，比如当路径中两个顶点非常接近时，三次样条曲线(Cubic Spline)算法的输出就会产生非常大的震荡。

【1】中提出通过固定原始路径顶点，然后在固定顶点之间插入新的顶点，最后使用Conjugate Gradient(CG，共轭梯度法)最小化曲率的非参数插值(Non-Parametric Interpolation)方法对曲线进一步平滑，平滑效果如下：

参考资料

1、Practical Search Techniques in Path Planning for Autonomous Driving。Dmitri Dolgov，Sebastian Thrun，Michael Montemerlo，James Diebel.

2、Path Planning in Unstructured Environments, A Real-time Hybrid A* Implementation for Fast and Deterministic Path Generation for the KTH Research Concept Vehicle.

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